把数轴砍成两截.这一刀一定会砍在某个点上
2019-10-28 10:51
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设数轴是从点a处被砍断的.这个点a在哪半截数轴上呢?答案是不在左半截上,就在右半截上.这是因为点不可分割,又不会消失,所以不会两边都有,也不会两边都没有.

这样把有理数分成甲、乙两部分,使乙中每个数比甲中每个数大,这种分法叫做有理数的一个戴德金分割,简称分割.有理数的每个分割确定一个实数.有缝隙的分割确定一个无理数,没有缝隙的分割确定一个有理数.这样建立实数系的方法是德国数学家戴德金(j.w.r. dedekind,1831~1916)提出来的.

从以上的假想中领会到所谓数轴的连续性,就是不管把它从什么地方分成两半截,总有半截是带端点的,而另外半截没有端点.

有理数再添上无理数,凑成全体实数.我们说,实数是可以连续变化的.说变量x从o变到1,是说x要取遍0到1之间的一切实数.

设想用一把锋利的刀猛砍数轴,把数轴砍成两截.这一刀一定会砍在某个点上,即砍中了一个实数.如果能够砍在一个缝隙上,数轴就不算连续的了.

有理数系不满足这个条件.如把全体负有理数和平方不超过2的非负有理数放在一起组成甲集,所有平方超过2的正有理数组成乙集,则甲集无最大数,乙集也无最小数.若从甲乙两集之间下手砍一刀,就砍在缝里了.在实数系中,这个缝就是用无理数填起来的.

整数由小到大的变化是跳跃式的.从1跳到2,跨过了许多分数.有理数从1变到2,中间似乎没有跳跃,因为1与2之间的有理数是密密麻麻的,找不到一段空白.其实有理数从l变到2并非连续地变化,因为中间跨过了许多无理数,例如.

把全体实数分成甲、乙两个非空集合,如果甲集里任一个数x比乙集里的任一个数y都小,那么,或者甲集里有最大数,或者乙集里有最小数,二者必居其一,且仅居其一.这就叫做实数的连续性.

在直线上取定一个原点,一个单位长和一个方向,直线就成了数轴.数轴上的每个点代表一个实数,每个实数都可以用数轴上的一个点表示.实数可以连续变化,就是说点可以在数轴上连续地运动.

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